Question

20、工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務則撤出，再派下一個人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務的概率分別p₁，p₂，p₃，假設p₁，p₂，p₃互不相等，且假定各人能否完成任務的事件相互獨立．
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務能被完成的概率．若改變?nèi)齻�人被派出的先后順序，任務能被完成的概率是否發(fā)生變化？
（Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務的概率依次為q₁，q₂，q₃，其中q₁，q₂，q₃是p₁，p₂，p₃的一個排列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值（數(shù)學期望）EX；
（Ⅲ）假定l＞p₁＞p₂＞p₃，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學期望）達到最�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）可先考慮任務不能被完成的概率為（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）為定值，故任務能被完成的概率為定值，通過對立事件求概率即可．
（Ⅱ）X的取值為1，2，3，利用獨立事件的概率分別求出概率，再求期望即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中得到的關系式，考慮交換順序后EX的變化情況即可．

解答：解：（Ⅰ）任務不能被完成的概率為（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）為定值，
所以任務能被完成的概率與三個人被排除的順序無關．
任務能被完成的概率為1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）
（Ⅱ）X的取值為1，2，3
P（X=1）=q₁
P（X=2）=（1-q₁）q₂
P（X=3）=（1-q₁）（1-q₂）
EX=q₁+2（1-q₁）q₂+3（1-q₁）（1-q₂）=3-2q₁-q₂+q₁q₂
（Ⅲ）EX=3-（q₁+q_2^）+q₁q₂-q₁，
若交換前兩個人的派出順序，則變?yōu)?-（q₁+q_2^）+q₁q₂-q₂，
由此可見，當q₁＞q₂時，交換前兩個人的派出順序可減小均值；
若保持第一人派出的人選不變，交換后個人的派出順序，
EX可寫為3-2q₁-（1-q₁）q₂，交換后個人的派出順序則變?yōu)?-2q₁-（1-q₁）q₃，
當q₂＞q₃時交換后個人的派出順序可減小均值
故完成任務概率大的人先派出，
可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學期望）達到最小．

點評：本題考查對立事件、獨立事件的概率、離散型隨機變量的分布列和方差等知識，以及利用概率知識解決實際問題的能力．