Question

2．已知正四棱錐O-ABCD的體積為2，底面邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，則該正四棱錐的外接球的半徑為$\frac{11}{8}$．

Answer 1

分析 先畫出圖形，正四棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據(jù)三角形相似解出球的半徑．

解答 解：如圖，連接AC，BD交于G，連接OG，則OG⊥底面ABCD，

∵正四棱錐O-ABCD的底面邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，體積為2，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}•OG=2$，解得h=2，
取OC中點(diǎn)H，在平面OGC中，過H作HK⊥OC交OG于K，則K為正四棱錐O-ABCD的外接球的球心，
∵Rt△OGC∽R(shí)t△OHK，
∴$\frac{OH}{OK}=\frac{OG}{OC}$，則OK=$\frac{OH•OC}{OG}$，
又在Rt△OGC中，由$GC=\frac{\sqrt{6}}{2}$，OG=2，得OC=$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
∴OH=$\frac{\sqrt{22}}{4}$，
則OK=$\frac{\frac{\sqrt{22}}{4}×\frac{\sqrt{22}}{2}}{2}$=$\frac{11}{8}$．
即正四棱錐的外接球的半徑為$\frac{11}{8}$．
故答案為：$\frac{11}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查外接球半徑R，考查計(jì)算能力和空間想象能力，找出球的半徑是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．