Question

11．給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)α，使sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3}{2}$
②函數(shù)y=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）是偶函數(shù)．
③函數(shù)y=|tan（2x+$\frac{π}{4}$）|的周期為$\frac{π}{2}$．
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ
⑤函數(shù)y=sin²x-3cosx+2的最大值為6
其中正確命題的是②③．
（把你認(rèn)為正確命題的序號填在答題紙的相應(yīng)位置上）

Answer 1

分析 ①由sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，判斷①錯；
②由函數(shù)y=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-cos2x是偶函數(shù)，判斷②正確；
③求出函數(shù)y=|tan（2x+$\frac{π}{4}$）|的周期為$\frac{π}{2}$，判斷③正確；
④舉例說明該命題錯誤；
⑤求出函數(shù)y的最大值，判斷⑤錯誤．

解答 解：對于①，sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴存在實(shí)數(shù)α，使sin$\frac{α}{2}$+cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3}{2}$是假命題，故①錯誤；
對于②，函數(shù)y=sin（2x+$\frac{3π}{2}$）=-cos2x，是定義域R上的偶函數(shù)，故②正確；
對于③，函數(shù)y=|tan（2x+$\frac{π}{4}$）|的周期為T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，故③正確；
對于④，當(dāng)α=$\frac{9π}{4}$、β=$\frac{π}{4}$時，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα=sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④錯誤；
對于⑤，函數(shù)y═sin²x-3cosx+2=-cos²x-3cosx+3=-${（cosx+\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{21}{4}$，
當(dāng)cosx=-1時，y取得最大值為5，故⑤錯誤．
其中正確命題的是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的化簡與求值問題，是綜合性題目．