(2013•泗陽縣模擬)某生產(chǎn)旅游紀念品的工廠,擬在2010年度將進行系列促銷活動.經(jīng)市場調(diào)查和測算,該紀念品的年銷售量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例.若不搞促銷活動,紀念品的年銷售量只有1萬件.已知工廠2010年生產(chǎn)紀念品的固定投資為3萬元,每生產(chǎn)1萬件紀念品另外需要投資32萬元.當(dāng)工廠把每件紀念品的售價定為:“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時,則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷量相等.(利潤=收入-生產(chǎn)成本-促銷費用)
(1)求出x與t所滿足的關(guān)系式;
(2)請把該工廠2010年的年利潤y萬元表示成促銷費t萬元的函數(shù);
(3)試問:當(dāng)2010年的促銷費投入多少萬元時,該工廠的年利潤最大?
分析:(1)根據(jù)題意,3-x與t+1成反比例,列出關(guān)系式,然后根據(jù)當(dāng)t=0時,x=1,求出k的值
(2)通過x表示出年利潤y,并化簡,代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù).
(3)根據(jù)已知代入(2)的函數(shù),分別進行化簡即可求出最值,即促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大.
解答:解  (1)設(shè)比例系數(shù)為k(k≠0).由題知,有3-x=
k
t+1
.…(2分)
又t=0時,x=1.∴3-1=
k
0+1
,k=2
.…(4分)∴x與t的關(guān)系是x=3-
2
t+1
(t≥0)
.…(5分)
(2)依據(jù)題意,可知工廠生產(chǎn)x萬件紀念品的生產(chǎn)成本為(3+32x)萬元,促銷費用為t萬元,則每件紀念品的定價為:(
3+32x
x
•150%+
t
2x
)元/件.…(8分)
于是,y=x•(
3+32x
x
•150%+
t
2x
)-(3+32x)-t
,進一步化簡,得y=
99
2
-
32
t+1
-
t
2
(t≥0)
.…(11分)
因此,工廠2010年的年利潤y=
99
2
-
32
t+1
-
t
2
(t≥0)
萬元.
(3)由(2)知,y=
99
2
-
32
t+1
-
t
2
(t≥0)

=50-(
32
t+1
+
t+1
2
)
≤50-2
32
t+1
t+1
2
=42(當(dāng)
t+1
2
=
32
t+1
,即t=7時,等號成立)
…(15分)
所以,當(dāng)2010年的促銷費用投入7萬元時,工廠的年利潤最大,最大利潤為42萬元.…(16分)
點評:本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力,強調(diào)對知識的理解和熟練運用,屬于中檔題.
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20
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a11a10
  
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19
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π
3
 , 
π
3
]
上是減函數(shù),則實數(shù)ω的取值范圍是
-
3
2
≤ω<0
-
3
2
≤ω<0

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{3,5}
{3,5}

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