已知函數(shù)，其中是常數(shù)且.

（1）當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）當時，討論的單調(diào)性；

（3）設是正整數(shù)，證明：.

 

【答案】

（1） ；（2）當時， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當時， 的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用導數(shù)法，然后才有分離參數(shù)的思路進行求解； （2）明確函數(shù)的解析式，利用求導法和分類討論進行求解；（3）用代替中的得到，再證明不等式成立.

試題解析：（1）∵，則，∴，

∵當時，是增函數(shù)，∴在時恒成立.      （2分）

即在時恒成立. ∵當時，是減函數(shù)，

∴當時，，∴.          （4分）

（2）∵，∴，

∴，                  （5分）

∴當時，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

當時，由得或，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.                                    （9分）

（3）由（1）知，當，時，在時增函數(shù)，

∴，即，∴，

∵，∴，∴，

即，             （12分）

∴

∴.         （14分）

考點：導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013屆浙江省高二下學期第一次統(tǒng)練理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，其中是常數(shù).

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程上有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆北京市高一第一學期期末考試數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，其中是常數(shù).

(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012屆北京市海淀區(qū)高三上學期期末考試理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，其中是常數(shù).

(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.

 

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2012屆北京市海淀區(qū)高三上學期期末考試文科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中是常數(shù).

（Ⅰ）當時，求在點處的切線方程；

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.

 

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案