Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos（2x+

π

3

）-cos²x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后，得到的圖象關于原點對稱，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）原式可化為f（x）=2sin（2x-

π

6

）-

1

2

，故根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）先寫出函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后得到的解析式，圖象關于原點對稱即有-2m-

π

6

=kπ，從而得解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-（cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

）-

cos2x+1

2

=

3

sin2x-cos2x-

1

2

=2sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴f（x）的最小正周期T=π．
當2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）．
即有kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
故所求區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位后得：
g（x）=2sin[2（x-m）-

π

6

]-

1

2

，
要使g（x）的圖象關于原點對稱，只需要-2m-

π

6

=kπ（k∈Z），
即有m=

k

2

π-

π

12

，所以m的最小值為

5π

12

．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的周期性及其求法以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于中檔題．