Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）的零點(diǎn)；
（2）求f（x）的值域；
（3）將f（x）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移，使得平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱？（只需說(shuō)出一種平移途徑即可）

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式化簡(jiǎn)f（x），令f（x）=0，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出零點(diǎn)．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值；
（3）將化簡(jiǎn)后的f（x）進(jìn)行圖象變換得到y(tǒng)=sinx即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
令f（x）=0得sin（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，x=π．
（2）∵-1≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1．
∴當(dāng)sin（x+$\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，f（x）取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$，
當(dāng)sin（x+$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$．
∴f（x）的值域是[$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$]．
（3）將f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，再向下平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$個(gè)單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換，屬于中檔題．