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【題目】已知函數
(1)當a=0時,求f(x)的極值.
(2)當a≠0時,若f(x)是減函數,求a的取值范圍;

【答案】
(1)解:∵

當a=0時,f(x)=2x﹣lnx,則

∴x,f'(x),f(x)的變化情況如下表

∴當 時,f(x)的極小值為1+ln2,函數無極大值


(2)解:由已知,得 ,且x>0,則

∵函數f(x)是減函數

∴f'(x)≤0對x>0恒成立,即不等式 對恒成立

由二次函數的性質可得

解得a≤﹣1,即a的取值范圍是(﹣∞,﹣1]

另解: 對x>0恒成立,即 對x>0恒成立,即


【解析】求函數的定義域(0,+∞)(1)把a=0代入求導,研究函數的單調區(qū)間,根據單調性求函數的極值.(2)由題意可得f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立,轉化為求函數f′(x)在(0,+∞)的最大值小于(等于)0,進而求解,也可利用二次函數的圖象及根的分布問題求解.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.

練習冊系列答案
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