Question

設(shè)函數(shù)φ（x）=3^x（x∈R）．
（1）若y=kx（k＞0）與函數(shù)y=φ（x）的圖象交于A，B兩點，過點B作x軸的平行線交函數(shù)y=φ（3x）的圖象于點C，若AC平行于y軸，求點A的縱坐標(biāo)；
（2）令p（x）=

φ(x)

φ(x)+ 3

，q（x）=

3

φ(2x)+3

，求證：p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2013

2014

）．
（3）若f（x）=

φ(x+1)+a

φ(x)+b

為R的奇函數(shù)．
  （i）求函數(shù)f（x）的表達式；
  （ii）若對任意的x∈R，都有f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件設(shè)出A，B，C的坐標(biāo)，建立條件關(guān)系即可求點A的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)函數(shù)表達式證明p（x）+p（1-x）=1，q（x）+q（1-x）=1，即可證明等式成立．
（3）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求出a，b的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=kx₁，y₂=kx₂，y₁=3x1，y₂=3x2，
∵BC∥x軸，∴C點的縱坐標(biāo)為y₂，
∵AC∥y軸，∴C點的橫坐標(biāo)為x₁，即C（x₁，y₂），
∵C在y=φ（3x）=3^3x，
∴y2=33x1=3x2，即3x₁=x₂，y2=y13
則k=

y2-y1

x2-x1

=

y13-y1

3x1-x1

=

(y12-1)y1

2x1

=

y12-1

2

•k，
即

y12-1

2

=1，即y12=3，解得y₁=

3

．
（2）令p（x）=

φ(x)

φ(x)+ 3

=

3x

3x+ 3

，
q（x）=

3

φ(2x)+3

=

3

32x+3

，
則p（1-x）=

31-x

31-x+ 3

=

3

3+ 3 •3x

=

3

3 +3x

，則p（x）+p（1-x）=

3x

3x+ 3

+

3

3 +3x

=1，
q（1-x）=

3

32(1-x)+3

=

32x

3+32x

，
則q（x）+q（1-x）=

3

32x+3

+

32x

3+32x

=1，
則p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=1007，q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2013

2014

）=1007．
則p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=q（

1

2014

）+q（

2

2014

）+…+q（

2013

2014

）成立．
（3）f（x）=

φ(x+1)+a

φ(x)+b

=

3x+1+a

3x+b

為R的奇函數(shù)．
則f（0）=

3+a

1+b

=0，解得a=-3．
即f（x）=

3x+1-3

3x+b

，
且f（1）+f（-1）=0，即

9-3

3+b

+

1-3

1 3 +b

=0，解得b=1，即f（x）=

3x+1-3

3x+b

=

3x+1-3

3x+1

．
∵f（x）=

3x+1-3

3x+1

=

3(3x+1)-6

3x+1

=3-

6

3x+1

．
∴u=3^x+1單調(diào)遞增，且u＞1，此時y=3-

6

u

為增函數(shù)，
∴f（x）=3-

6

3x+1

是R上的增函數(shù)，
不等式f（φ（2x）-1）+f（2-kφ（x））＞0恒成立，
等價為f（φ（2x）-1）＞-f（2-kφ（x））=f（kφ（x）-2），
即3^2x＞k3^x-1，
即k＜

32x+1

3x

=3x+

1

3x

，
∵3^x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取等號，
∴k＜2．

點評：本題主要考查函數(shù)方程，函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性之間的應(yīng)用，綜合性較強，運算量較強，難度非常大．