Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，，PA⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上．
（1）求F在何處時(shí)，EF⊥平面PBC；
（2）在條件（1）下，EF是否為PC與AD的公垂線段？若是，求出公垂線段的長(zhǎng)度；若不是，說(shuō)明理由；
（3）在條件（1）下，求直線BD與平面BEF所成的角．

Answer 1

（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線AD、AB、AP為x軸、
y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），P（0，0，，B（0，，0），C（2，，0），
D（2，0，0），E（1，0，0），
∵F在PC上，∴不妨令，
設(shè)F（x，y，z），=（2，0，0），=（2，，，，y，z），
∵EF⊥平面PBC，∴，
又∵，∴，x=1，，
故F為PC的中點(diǎn)…（4分）
（2）由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，∴EF是PC與AD的公垂線段，
∵，x=1，，∴，，，即…（8分）
（3）由（1）可知=（2，，，且PB=BC=2，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，
∴PC⊥BF，又∵EF⊥PC，∴為平面BEF的一個(gè)法向量，
而，，0），設(shè)BD與平面BEF所成角為θ，
則，
∴，
故BD與平面BEF所成的角為．…（12分）
分析：（1）、建立空間坐標(biāo)系利用空間向量共線、空間向量垂直建立方程計(jì)算出F點(diǎn)坐標(biāo)，從而判斷出F是PC中點(diǎn)；
（2）、利用（1）的結(jié)論及BC轉(zhuǎn)化了垂直關(guān)系，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出；
（3）、找到法向量，再利用直線與平面的夾角計(jì)算公式，可得到夾角．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了空間向量共線、垂直，空間兩點(diǎn)間的距離公式，直線與平面的夾角計(jì)算公式．鍛煉了學(xué)生幾何問(wèn)題代數(shù)化和學(xué)生的計(jì)算能力．