Question

10．實數(shù)x，y，z滿足x＞0，y＞0，z＞0，求證：$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}≤\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：$x＞0⇒\sqrt{x}=\sqrt{1•x}≤\frac{1+x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$，
$y＞0⇒\sqrt{y}=\sqrt{1•y}≤\frac{1+y}{2}=\frac{y}{2}+\frac{1}{2}$，
$z＞0⇒\sqrt{z}=\sqrt{1•z}≤\frac{1+z}{2}=\frac{z}{2}+\frac{1}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時，不等式等號成立
三個不等式相加可得$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}≤\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}+\frac{3}{2}$…（10分）

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．