Question

14．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA₁=2，P為棱BB₁上的一個動點．
（1）求三棱錐C-PAA₁的體積；
（2）當(dāng)A₁P+PC取得最小值時，求證：PD₁⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）由圖可知，BC為三棱錐C-PAA₁的高，且三角形PAA₁的面積為定值，代入棱錐體積公式得答案；
（2）由剪展問題求出A₁P+PC取得最小值時的P的位置，然后證明PD₁⊥PA，PD₁⊥PC，再由線面垂直的判定可得PD₁⊥平面PAC．

解答 （1）解：在長方體中，BC⊥平面ABB₁A₁，∴C到平面PAA₁的距離為BC=1，
又${S_{△PA{A_1}}}=\frac{1}{2}\;•\;A{A_1}\;•\;AB=\frac{1}{2}×2×1=1$，
∴${V_{C-PA{A_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△PA{A_1}}}\;•\;BC=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$；
（2）證明：如圖，

將側(cè)面BCC₁B₁繞BB₁展開至與平面ABB₁A₁共面，當(dāng)A₁，P，C′共線時，A₁P+PC′取得最小值．
∵在△A₁AC′中，為AC′中點，BP∥AA₁，∴P為BB₁的中點．
如圖，連接PA，PC，AC，PD₁，AD₁，B₁D₁，
在Rt△PAB中，求得$PA=\sqrt{2}$，
在Rt△ADD₁中，求得$A{D_1}=\sqrt{5}$，
∵PB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴PB₁⊥B₁D₁，
在Rt△PB₁D₁中，PB₁=1，${B_1}{D_1}=\sqrt{2}$，得$P{D_1}=\sqrt{3}$，
∵在△APD₁中，$A{D_1}^2=P{A^2}+P{D_1}^2$，∴PD₁⊥PA．
同理可得PD₁⊥PC，又PC∩PA=P，
∴PD₁⊥平面PAC．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．