Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長線于點(diǎn)F．求證：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）∠EDF=∠CDB；
（3）E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析：（1）連接CD后，根據(jù)圓周角定理及∠BEC為△ABE與△CDE的共公角，我們易得△ABE∽△CDE，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，結(jié)合比例的性質(zhì)，易得答案．
（2）由（1）中△ABE∽△CDE，進(jìn)而得到∠EDC=∠FDB，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，我們易得∠EDF=∠CDB．
（3）AB是⊙O的直徑所對的圓周角為直角，易得△ECB為直角三角形，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，我們易得E，F(xiàn)，C，B到點(diǎn)D的距離相等，即E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓．

解答：解：（1）連接CD，如下圖所示：

由圓周角定理，我們可得∠C=∠B
又由∠BEC為△ABE與△CDE的共公角，
∴△ABE∽△CDE，
∴BE：CE=AE：DE，
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE²（3分）
（2）∵△ABE∽△CDE，
∴∠EDC=∠FDB，
∴∠EDF=∠CDB，（6分）
（3）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ECB=90°，
取EB的中點(diǎn)H，連接FH，CH
∴CH=

1

2

BE，
同理，F(xiàn)H=

1

2

BE，
所以，E，F(xiàn)，C，B到點(diǎn)H的距離相等，
∴E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓．（10分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的判定及性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，（3）中利用∠ADB=EFB=90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理，也可證明E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓．