已知在正四棱錐P-ABCD中（如圖），高為1cm，其體積為4cm3，求異面直線PA與CD所成角的大�。�

【答案】分析：連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接PO．根據(jù)錐體體積公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可算出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)，從而用勾股定理算出PA長(zhǎng)，然后在△PAB中，利用余弦定理計(jì)算出∠PAB的余弦值，因?yàn)镃D∥AB，所以這個(gè)余弦值就是PA與CD所成角θ的余弦值，從而得到異面直線PA與CD所成角的大�。�
解答：解：連接AC、BD交于O點(diǎn)，連接PO，則PO就是正四棱錐的高
設(shè)異面直線PA與CD所成角的大小θ，底邊長(zhǎng)為a，
則依題意得，正四棱錐P-ABCD體積為V=a2×1=4      …（4分）
∴a=2，可得AC=2
Rt△PAO中，OA=，PO=1
∴PA==        …（7分）
因?yàn)镃D∥AB，所以直線PA與AB所成的銳角就是PA與CD所成角θ．     …（9分）
△PAB中，PA=PB=，AB=2，
∴cos∠PAB==，即cosθ=，
所以PA與CD所成角θ=arccos．        …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)正四面體，叫我們求異面直線所成角，著重考查了正棱錐的性質(zhì)、余弦定理和異面直線所成角的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；
（3）求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題．
例如，原來(lái)問(wèn)題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積
16
3
后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為
16
3
，求側(cè)棱長(zhǎng)”；也可以是“若正四棱錐的體積為
16
3
，求所有側(cè)面面積之和的最小值”．
現(xiàn)有正確命題：過(guò)點(diǎn)A(-
p
2
，0)的直線交拋物線C：y2=2px（p＞0）于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過(guò)焦點(diǎn)F．
試給出上述命題的“逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•上海一模）如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，且已知VP-ABCD=
163
．
（1）求球O的表面積；
（2）設(shè)M為BC中點(diǎn)，求異面直線AM與PC所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正四棱錐P-ABCD的四條側(cè)棱，底面四條邊及兩條對(duì)角線共10條線段，現(xiàn)有一只螞蟻沿著這10條線段從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)，規(guī)定：（1）從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)視為一次爬行；（2）從任一頂點(diǎn)向另4個(gè)頂點(diǎn)爬行是等可能的（若螞蟻爬行在底面對(duì)角線上時(shí)仍按原方向直行）．則螞蟻從頂點(diǎn)P開(kāi)始爬行4次后恰好回到頂點(diǎn)P的概率是（　�。�
A、
1
16
B、
9
16
C、
9
64
D、
13
64

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆江西省景德鎮(zhèn)市高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知正四棱錐P—ABCD的四條側(cè)棱，底面四條邊及兩條對(duì)角線共10條線段，現(xiàn)有一只螞蟻沿著這10條線段從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)，規(guī)定： (1)從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)視為一次爬行；(2)從任一頂點(diǎn)向另4個(gè)頂點(diǎn)爬行是等可能的（若螞蟻爬行在底面對(duì)角線上時(shí)仍按原方向直行）. 則螞蟻從頂點(diǎn)P開(kāi)始爬行4次后恰好回到頂點(diǎn)P的概率是(  )                                 

A．              B．              C．             D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，且已知數(shù)學(xué)公式．
（1）求球O的表面積；
（2）設(shè)M為BC中點(diǎn)，求異面直線AM與PC所成角的大小．

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