分析:(1)欲證EF∥平面ABC1D1,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABC1D1內一直線平行,連接BD1,在△DD1B中,E、F分別為D1D,DB的中點,根據(jù)中位線定理可知EF∥D1B,滿足定理所需條件;
(2)先根據(jù)線面垂直的判定定理證出B1C⊥平面ABC1D1,而BD1?平面ABC1D1,根據(jù)線面垂直的性質可知B1C⊥BD1,而EF∥BD1,根據(jù)平行的性質可得結論;
(3)可先證CF⊥平面EFB1,根據(jù)勾股定理可知∠EFB1=90°,根據(jù)等體積法可知VB1-EFC=V C-B1EF,即可求出所求.
解答:解:(1)證明:連接BD
1,如圖,在△DD
1B中,E、F分別為D
1D,DB的中點,則
| EF∥D1B | D1B?平面ABC1D1 | EF?平面ABC1D1 |
| |
?EF∥平面ABC
1D
1.
(2)
| B1C⊥AB | B1C⊥BC1 | AB,B1C?平面ABC1D1 | AB∩BC1=B |
| |
???EF⊥B1C(3)∵CF⊥平面BDD
1B
1,∴CF⊥平面EFB
1且
CF=BF=,
∵
EF=BD1=,
B1F===,
B1E===3∴EF
2+B
1F
2=B
1E
2即∠EFB
1=90°,
∴
VB1-EFC=VC-B1EF=•S△B1EF•CF=
וEF•B1F•CF=
××××=1 點評:本題主要考查了線面平行的判定,以及線面垂直的性質和三棱錐體積的計算,同時考查了空間想象能力、運算求解能力、轉化與劃歸的思想,屬于中檔題.