Question

如圖，已知⊙與⊙外切于點(diǎn)，是兩圓的外公切線，，為切點(diǎn)，與 的延長線相交于點(diǎn)，延長交⊙于 點(diǎn)，點(diǎn)在延長線上．

（1）求證：是直角三角形；

（2）若，試判斷與能否一定垂直？并說明理由．

（3）在（2）的條件下，若，，求的值．

 

 

Answer 1

(1)證明略；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線，平分兩條切線的夾角；（2）判斷三角形相似：一是平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似；二是如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等, 那么這兩個(gè)三角形相似；三是如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等, 　那么這兩個(gè)三角形相似；四是如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；五是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角；（3）切割線定理：切割線定理，是圓冪定理的一種，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).

試題解析：【解析】
（1）證明：過點(diǎn)作兩圓公切線交于，由切線長定理得

，∴為直角三角形 3分

（2）

證明：∵，

∴，又，

∴∽

∴即． 6分

（3）由切割線定理，，

∴

∴． 9分

考點(diǎn)：（1）切線長定理；（2）相似三角形的應(yīng)用；（3）切割線定理的應(yīng)用.