Question

19．已知點(diǎn)F（-1，0）是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞0}）$的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N（3，2），則|MN|+|MF|取最大值時，直線MN的斜率為1．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′．由題意可得：c=1，b=1，a²=b²+c²．由橢圓的定義可得：|MF|+|MF′|=2a，
再利用三點(diǎn)N，M，F(xiàn)′共線時取最值，即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′．
由題意可得：c=1，b=1，∴a²=b²+c²=2．
由橢圓的定義可得：|MF|+|MF′|=2a，
∴則|MN|+|MF|=|MN|+2a-|MF′|≤|MF′|+2a．
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)N，M，F(xiàn)′共線時取等號．
∴${k}_{N{F}^{′}}$=$\frac{2-0}{3-1}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．