Question

【題目】已知函數f（x）= ， g（x）=ex+m ， 其中e=2.718…．
（1）求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當m≥﹣2時，證明：f（x）＜g（x）．

Answer 1

【答案】
解：（1）函數f（x）=的導數為f′（x）=，
則f（x）在x=1處的切線斜率為1，切點為（1，0），
則f（x）在x=1處的切線方程為y=x﹣1；
（2）由函數f（x）=的導數為f′（x）=，
當0＜x≤1時，f（x）＜0，g（x）=ex+m＞0，f（x）＜g（x）成立；
當1＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＞e時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=e處取得極大值，且為最大值；
而x＞1，m≥﹣2時，g（x）=ex+m＞，即有f（x）＜g（x）．
綜上可得，當m≥﹣2時，f（x）＜g（x）．
【解析】（1）求得f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，可得切線的方程；
（2）討論0＜x≤1，由f（x）≤0，g（x）＞0，顯然成立；x＞1時，求得f（x）的最大值和g（x）的最小值，即可判斷．