Question

【題目】如圖,已知一個八面體的各條棱長為1,四邊形ABCD為正方形,下列說法

①該八面體的體積為;

②該八面體的外接球的表面積為;

③E到平面ADF的距離為;

④EC與BF所成角為60°;

其中不正確的個數(shù)為

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意可得該八面體為正八面體，即底面為正方形的兩個正四棱錐連接而成，由棱錐的體積，可判斷①；推得球心即為正方形的中心，求得半徑，由球的表面積公式，計算可判斷②；

由體積轉(zhuǎn)化法，即VB﹣ADF＝VF﹣ABD，計算可判斷③；由異面直線所成角的定義，即可判斷④．

解：因為八面體的各條棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，

可得該八面體為正八面體，E到平面ABCD的距離為，

即有八面體的體積為21，故①錯誤；

由正方形ABCD的中心到點A，B，C，D，E，F的距離相等，且為，

可得該八面體的外接球的球心為正方形ABCD的中心，半徑為，

表面積為4π2π，故②正確；

由正八面體的特點可得四邊形EDFB為正方形，由EB∥DF，可得EB∥平面ADF，

B到平面ADF的距離，設(shè)為d，即為E到平面ADF的距離，由VB﹣ADF＝VF﹣ABD，

可得h，可得h，故③錯誤；

由四邊形EDFB為正方形，可得BF∥ED，DE與EC所成角即為EC與BF所成角，

可得三角形CDE為等邊三角形，可得EC與BF所成角為60°，故④正確．

其中錯誤的個數(shù)為2．

故選：C．