【題目】正方體ABCD－A1B1C1D1 的棱長為 2，且AC 與BD 交于點(diǎn)O，E 為棱DD1 中點(diǎn)，以A 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz，如圖所示.

(Ⅰ)求證：B1O⊥平面EAC；

(Ⅱ)若點(diǎn)F 在EA 上且B1F⊥AE，試求點(diǎn)F 的坐標(biāo)；

(Ⅲ)求二面角B1－EA－C 的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】

證明：(I) 由題設(shè)知下列各點(diǎn)的坐標(biāo)A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C (2, 2, 0),

D (0, 2, 0),E (0, 2, 1),B1(2, 0, 2)．

∵O是正方形ABCD的中心，∴O (1, 1, 0)．

∴= (－1, 1, －2)，= (2, 2, 0)，= (0,2, 1)．

∴·= (－1, 1, －2)·(2, 2, 0)

= －1·2 + 1·2－2·0 = 0．

·= (－1, 1, －2)·(0, 2, 1)

= －1·0 + 1·2－2·1 = 0．

∴

即B1O ⊥AC，B1O⊥AE，

∴B1O⊥平面ACE．

(II) 由F點(diǎn)在AE上，可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為F (0, 2l,l)，

則= (－2, 2l,l－2)．

= (－2, 2l,l－2)·(0, 2, 1) = 5l－2 = 0，

∴l= ,

∴．

(III) ∵B1O⊥平面EAC，B1F⊥AE，連結(jié)OF，由三垂線定理的逆定理得OF⊥AE．

∴∠OFB1即為二面角B1－EA－C的平面角．

∴=

又=，

∴= = ．

在Rt△B1OF中，sin∠B1FO= = ．

故二面角B1－EA－C的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

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候車時(shí)間

人數(shù)

1

4

2

2

1

（1）估計(jì)這10名乘客的平均候車時(shí)間（同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；

（2）估計(jì)這50名乘客的候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù).

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【題目】（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.若，試分別比較與、與的大小關(guān)系.

（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和為.證明：若存在正整數(shù)k，使，則.

（3）在等比數(shù)列中，設(shè)的前n項(xiàng)乘積，類比（2）的結(jié)論，寫出一個(gè)與有關(guān)的類似的真命題，并證明.

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①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形；

②最長的側(cè)棱長為；

③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形；

④外接球的表面積為24π．

其中正確的描述為____．

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A.B.C.D.

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（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與圓C相切，求直線l的方程.

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