Question

曲線y=3x-x³的過(guò)點(diǎn)（1，3）的切線方程是

 

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Answer 1

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，分點(diǎn)（1，3）是切點(diǎn)和原點(diǎn)不是切點(diǎn)兩類求，先求出函數(shù)y=3x-x³的導(dǎo)函數(shù)，然后求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程即可．

解答：解：f′（x）=-3x²+3．設(shè)切線的斜率為k．
顯然切點(diǎn)不是點(diǎn)（1，3），設(shè)切點(diǎn)是（x₀，y₀），
則有y₀=3x₀-x₀³，①
k=f′（x₀）=-3x₀²+3，
又k=

y0-3

x0-1

=-3x₀²+3，②
由①②得x₀=

3

2

，或x₀=0，
k=-

15

4

，或k=3．
∴所求曲線的切線方程為：15x+4y-27=0或y=3x，
故曲線的切線方程是y=3x或15x+4y-27=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；注意“在點(diǎn)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)的切線”的區(qū)別．屬于基礎(chǔ)題．