Question

已知雙曲線y²-

x2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，若A、B分別為漸近線l₁、l₂上的點(diǎn)，且2|AB|=5|F₁F₂|．求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明是什么曲線？

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根據(jù)A、B分別為l₁、l₂上的點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得軌跡方程及對(duì)應(yīng)的曲線．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x，y）
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=

5

2

|F₁F₂|=10，∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=10
∵y₁=

3

3

x₁，y₂=-

3

3

x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴y₁+y₂=

3

3

（x₁-x₂），y₁-y₂=

3

3

（x₁+x₂），
∴3×(2y)2+

1

3

×(2x)2=100
∴

x2

75

+

3y2

25

=1，對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．