Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD邊長為4的正方形，PA=PD=2$\sqrt{2}$，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）點E為線段PD上一點，且三棱錐E-BCD的體積為$\frac{8}{3}$，求平面EBC與平面PAB所成銳二面角的余弦值的大�。�

Answer 1

分析 （I）利用面面垂直的性質得出CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PCD；
（II）利用體積公式計算E到平面ABCD的距離得出E點位置，建立坐標系求出兩平面的法向量，從而可求出二面角的大�。�

解答 （I）證明：∵面ABCD邊長為4的正方形，∴CD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（II）取AB的中點O，連結OP，
∵PA=PD=2$\sqrt{2}$，AD=4，
∴OP⊥AD，OP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，
∴OP⊥平面ABCD，
設E到平面ABCD的距離為h，
則V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{4}^{2}×h$=$\frac{8}{3}$．解得h=h，
∴E為PB的中點．
以O為原點，以OB為y軸，以OP為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
∴B（4，-2，0），C（4，2，0），P（0，0，2），D（0，2，0），E（0，1，1），
∴$\overrightarrow{BC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{BE}$=（-4，3，1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
設平面EBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{-4x+3y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{m}$=（1，0，4）．
∵PA=PD=2$\sqrt{2}$，AD=4，
∴PA⊥PD，
由（I）知CD⊥平面PAD，PD?平面PAD，
∴CD⊥PD，又CD∥AB，
∴AB⊥PD，
又AB?PAB，PA?平面PAB，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，
∴$\overrightarrow{PD}$是平面PAB的法向量，
∵cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{-8}{2\sqrt{2}×\sqrt{17}}$=-$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．
∴平面EBC與平面PAB所成銳二面角的余弦值為|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}$＞|=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

點評 本題考查了面面垂直的性質與判定，線面垂直的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．