Question

已知函數(shù)f（x）=2（m+1）x²+4mx+2m-1．
（1）m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸有兩個零點；
（2）如果函數(shù)兩個零點在原點左右兩側，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）將函數(shù)的零點轉化為方程的根，二次型方程有兩個根，令其判別式大于等于0且二次項系數(shù)不為0，列出不等式求出m的范圍．
（2）先判斷二次項系數(shù)為0時不合題意，再討論原點的兩側各有一個，列出不等式求出m的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個零點，即方程2（m+1）x²+4mx+2m-1=0有兩個不相等的實根，
∴

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 2(m+1)≠0

得m＜1且m≠-1
∴當m＜1且m≠-1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個零點．
（2）m=-1時，則f（x）=-4x-3
從而由-4x-3=0得x=-

3

4

＜0
∴函數(shù)的零點不在原點的右側，
故m≠-1
當m≠-1時，有3種情況：
①原點的兩側各有一個，則

△=16m2-8(m+1)(2m-1)＞0 x1x2= 2m-1 2(m+1) ＜0

解得-1＜m＜

1

2

．

點評：解決二次方程的根的個數(shù)問題利用判別式；解決含參數(shù)的函數(shù)的性質問題常需要對參數(shù)分類討論．