Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為4，過右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M，N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，若|MN|=10，則|HF|=（　�。�

• A、14
• B、16
• C、18
• D、20

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為（m，n），雙曲線的右焦點(diǎn)為（c，0），右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，直線MN的方程為y=k（x-c），代入雙曲線的方程，消去y，運(yùn)用兩根之和，運(yùn)用雙曲線的第二定義可得|MN|，以及M的坐標(biāo)，再由中垂線方程的求法，可得H的坐標(biāo)，再求HF的長(zhǎng)，計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為（m，n），雙曲線的右焦點(diǎn)為（c，0），右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，
由e=

c

a

=4，即c=4a，b=

c2-a2

=

15

a．
直線MN的方程為y=k（x-c），代入雙曲線的方程，
可得（b²-a²k²）x²+2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
即為（15a²-a²k²）x²+8a³k²x-16a⁴k²-15a⁴=0，
x₁+x₂=

8a3k2

a2k2-15a2

=

8ak2

k2-15

．
則由雙曲線的第二定義可得|MN|=|MF+|NF|=4（x₁-

a2

c

）+4（x₂-

a2

c

）
=4（x₁+x₂）-2a=10，
即有

32ak2

k2-15

=10+2a，即k²-15=3a（1+k²），①
則m=

4ak2

k2-15

，n=k（m-4a）=

60ak

k2-15

，
弦MN的中垂線方程為y-n=-

1

k

（x-m），
可得H（

64ak2

k2-15

，0），
則|HF|=|

64ak2

k2-15

-4a|=60a•|

1+k2

k2-15

|，
由①可得，|HF|=60a•

1+k2

3a(1+k2)

=20．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的第二定義和離心率的運(yùn)用，同時(shí)注意直線的垂直平分線方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．