Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知2a_n-2ⁿ=S_n，則數列{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得2a₁-2=a₁，a_n-2a_n-1=2^n-1，n≥2，從而

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，n≥2，進而得到{

an

2n

}是以1為首項，以

1

2

為公差的等差數列，由此能求出a_n=（n+1）•2^n-1．

解答： 解：∵2a_n-2ⁿ=S_n，①
∴當n=1時，2a₁-2=a₁，解得a₁=2，
當n≥2時，2an-1-2n-1=Sn-1，②
①-②，得2a_n-2ⁿ-2a_n-1+2^n-1=a_n，n≥2，
整理，得a_n-2a_n-1=2^n-1，n≥2，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，n≥2，
又

a1

2

=

2

2

=1，∴{

an

2n

}是以1為首項，以

1

2

為公差的等差數列，
∴

an

2n

=1+（n-1）×

1

2

=

1

2

n+

1

2

，
∴a_n=（n+1）•2^n-1．
故答案為：（n+1）•2^n-1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．