Question

甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以與乙船相同的速度由A處向南偏西60°方向行駛，如圖所示，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近，此時兩船相距多少海里？并請描述此時甲船相對與海島O的位置．（海島O在A的正東方向10海里處）

Answer 1

分析：設經(jīng)過x小時后，甲船和乙船分別到達C，D兩點，表示出AC與AD，利用余弦定理列出關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出CD的最小值，以及此時x的值，根據(jù)三角形ACO為頂角為150°，底角為15°，腰長為10的等腰三角形，求出底邊，即為AO的長．

解答：解：設經(jīng)過x小時后，甲船和乙船分別到達C，D兩點，
則AC=10x，AD=AB-BD=20-10x，
∴CD²=AC²+AD²-2AC•AD•cos60°=（10x）²+（20-10x）²-2×10x×（20-10x）×

1

2

=100x²+100x²-400x+400-200x+100x²=300x²-600x+400=300（x-1）²+100，
∵當CD²取得最小值100時，CD取得最小值10，
∴當x=1時，CD取得最小值，此時△ACD為等邊三角形，
則經(jīng)過1小時后，甲乙船相距最近，距離為10海里，
此時甲船在海島O的西偏南15°處，與O相距2×10cos15°=5（

6

+

2

）（海里）（cos15°=cos（45°-30°）=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

6 + 2

4

）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關鍵．