Question

在數(shù)列 {a_n}中，已知 a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，n∈N^*，λ為常數(shù)．
（1）證明：a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列；
（2）設(shè) c_n=2an+2-an，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 S_n；
（3）當(dāng)λ≠0時(shí)，數(shù)列 {a_n-1}中是否存在三項(xiàng) a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式可得a₄，a₅，再利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，令b_n=a_n+1-a_n，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n=a_n+1-a_n=（n-1）λ，即可得出cn=2an+2-an=2(2n-1)λ．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）由（2）知a_n+1-a_n=（n-1）λ，用累加法可求得an=1+

(n-1)(n-2)

2

λ(n≥2)，當(dāng)n=1時(shí)也適合，假設(shè)存在三項(xiàng)a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，a₁=a₂=1，
∴a₃=2a₂-a₁+λ=λ+1，
同理，a₄=2a₃-a₂+λ=3λ+1，a₅=2a₄-a₃+λ=6λ+1，
又∵a₄-a₁=3λ，a₅-a₄=3λ，
∴a₄-a₁=a₅-a₄，
故a₁，a₄，a₅成等差數(shù)列．
（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，
令b_n=a_n+1-a_n，則b_n+1-b_n=λ，b₁=a₂-a₁=0，
∴{b_n}是以0為首項(xiàng)，公差為λ的等差數(shù)列，
∴b_n=b₁+（n-1）λ=（n-1）λ，
即a_n+1-a_n=（n-1）λ，
∴a_n+2-a_n=2（a_n+1-a_n）+λ=（2n-1）λ，
∴cn=2an+2-an=2(2n-1)λ． 
Sn=c1+c2+…+cn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ
當(dāng)λ=0時(shí)，S_n=n，
當(dāng)λ≠0時(shí)，Sn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ=

2λ(1-22nλ)

1-22λ

．
（3）由（2）知a_n+1-a_n=（n-1）λ，
用累加法可求得an=1+

(n-1)(n-2)

2

λ(n≥2)，
當(dāng)n=1時(shí)也適合，∴an=1+

(n-1)(n-2)

2

λ(n∈N*)，
假設(shè)存在三項(xiàng)a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列，
則(at+1-1)2=(as+1-1)(ap+1-1)，即

t2(t-1)2

4

=

s(s-1)p(p-1)

4

，
∵s，t，p成等比數(shù)列，∴t²=sp，
∴（t-1）²=（s-1）（p-1），
化簡(jiǎn)得s+p=2t，聯(lián)立 t²=sp，得s=t=p．
這與題設(shè)矛盾．
故不存在三項(xiàng)a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”，考查了反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．