Question

19．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），且f（3）-f（2）=1．
（1）若f（3m-2）＜f（2m+5），求實數(shù)m的取值范圍；
（2）求使$f（{x-\frac{2}{x}}）={log_{\frac{9}{4}}}\frac{49}{4}$成立的x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知f（3）-f（2）=1求得a值，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化f（3m-2）＜f（2m+5）為一元一次不等式求實數(shù)m的取值范圍；
（2）直接求解對數(shù)方程得答案．

解答 解：（1）由f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），且f（3）-f（2）=1，得log_a3-log_a2=1，
∴l(xiāng)og_a$\frac{3}{2}$=1，即a=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=$lo{g}_{\frac{3}{2}}x$，則f（x）是增函數(shù)，
又f（3m-2）＜f（2m+5），
∴0＜3m-2＜2m+5，解得$\frac{2}{3}$＜m＜7；
（2）由$f（{x-\frac{2}{x}}）={log_{\frac{9}{4}}}\frac{49}{4}$，得：$lo{g}_{\frac{3}{2}}$（x-$\frac{2}{x}$）=$lo{g}_{\frac{3}{2}}\frac{7}{2}$，
∴x-$\frac{2}{x}$=$\frac{7}{2}$，即2x²-7x-4=0，解得x=-$\frac{1}{2}$或x=4．

點評 本題考查對數(shù)不等式的解法，考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．