Question

15．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+（n-1）=n，a_n＞0．
∴a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．