Question

20．設函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），對任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，則（　�。�

• A． πf（1）＞ef（lnπ）
• B． πf（1）=ef（lnπ）
• C． πf（1）＜ef（lnπ）
• D． πf（1）與ef（lnπ）的大小不確定

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調性，由單調性可得g（1）與g（lnπ）的大小關系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因為對任意x∈R都有f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上單調遞增，
又1＜lnπ，
所以g（1）＜g（lnπ），
所以$\frac{f（1）}{e}$＜$\frac{f（lnπ）}{{e}^{lnπ}}$，
即πf（1）＜ef（lnπ），
故選C．

點評 本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，解決本題的關鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，屬中檔題．