Question

4．已知函數(shù)f（x）=-2+log_a（x+3）（a＞0且a≠1），g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1．
（1）函數(shù)y=f（x）的圖象恒過定點A，求A點坐標；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的圖象過點（-1，-5），證明：方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解．

Answer 1

分析 （1）當x+3=1時，log_a（x+3）=log_a1=0，由此能求出A點坐標．
（2）函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=-2+log_a（x+3）-（$\frac{1}{2}$）^x-1，由F（x）的圖象過點（-1，-5），得到a=2，從而$F（x）=lo{g}_{2}（x+3）-（\frac{1}{2}）^{x-1}-2$，由F（x）在（1，5）上是增函數(shù)，用F（1）與F（5）異號可知方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解，能證明方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-2+log_a（x+3）（a＞0且a≠1），
∴當x+3=1時，log_a（x+3）=log_a1=0，
即x=-2時，f（-2）=-2+log_a1=-2，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象恒過定點A，
∴A點坐標為（-2，-2）．
證明：（2）∵函數(shù)f（x）=-2+log_a（x+3）（a＞0且a≠1），g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1．
∴函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=-2+log_a（x+3）-（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∵F（x）的圖象過點（-1，-5），
∴F（-1）=-2+log_a2-（$\frac{1}{2}$）^-2=-5，
解得a=2，
∴$F（x）=lo{g}_{2}（x+3）-（\frac{1}{2}）^{x-1}-2$，
∵x∈（1，5），∴h（x）=log₂（x+3）∈（2，3），t（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1+2∈（$\frac{33}{16}，3$），
且在（1，5）上，h（x）=log₂（x+3）是增函數(shù)，t（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1+2是減函數(shù)，
∴$F（x）=lo{g}_{2}（x+3）-（\frac{1}{2}）^{x-1}-2$，在（1，5）上是增函數(shù)，
∵F（1）=$lo{g}_{2}4-（\frac{1}{2}）^{0}-2$=-1＜0，
F（5）=$lo{g}_{2}8-（\frac{1}{2}）^{4}-2$=$\frac{15}{16}$＞0，
∴方程F（x）=0在x∈（1，5）上有唯一解．

點評 本題考查定點坐標的求法，考查方程在開區(qū)間上有唯一解的證明，考查對數(shù)性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．