如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=,AB=1,AD=2,E為BC的中點(diǎn)
(1)求點(diǎn)A到面A1DE的距離;
(2)設(shè)△A1DE的重心為G,問是否存在實(shí)數(shù)λ,使 得=且MG⊥平面A1ED同時(shí)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)由題意求出AE、DE的長(zhǎng)度,由勾股定理得到AE和DE垂直,再由幾何體為長(zhǎng)方體得到DE⊥AA1,從而得到平面A1AE⊥平面A1ED,取A1E的中點(diǎn)H后連結(jié)AH,得到AH的長(zhǎng)度為點(diǎn)A到面A1DE的距離,然后在直角三角形A1AE中求解即可;
(2)過G作GM∥AH交AD于M,由AH⊥面A1DE得到MG⊥面A1DE,再利用重心的性質(zhì)及平行線截線段成比例定理得到λ的值.
解答:解:如圖,
(1)由題意求得AE=,DE=,又AD=2,∴AE2+ED2=AD2
∴AE⊥DE.
又DE⊥AA1,AA1∩AE=A,AA1?面A1AE,AE?面A1AE,
∴DE⊥面A1AE,∴平面A1AE⊥平面A1ED,
,
取A1E的中點(diǎn)H,AH⊥A1E,AH⊥DE,A1E∩ED=E,A1E?面A1DE,
 ED?面A1DE,
∴AH⊥面A1DE,
AH為點(diǎn)A到面A1DE的距離.
∵AH=1,∴點(diǎn)A到面A1DE的距離為1
(2)在三角形A1ED中,∵H是A1E的中點(diǎn),G為三角形A1ED的重心,
又∵AH⊥面A1ED,過點(diǎn)G作GM∥AH交AD于M,
則MG⊥A1ED,且AM=,
故存在實(shí)數(shù),使得,且MG⊥平面A1ED同時(shí)成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì),考查了點(diǎn)線面間距離的計(jì)算,考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力,考查了三角形重心的性質(zhì),是中檔題.
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19、如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn).
(1)求證:直線BD1∥平面PAC;
(2)求證:平面PAC⊥平面BDD1;
(3)求證:直線PB1⊥平面PAC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15、如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中被截去一部分,
(1)其中EF∥A1D1.剩下的幾何體是什么?截取的幾何體是什么?
(2)若FH∥EG,但FH<EG,截取的幾何體是什么?

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如圖在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,其中AB=BC,E,F(xiàn)分別是AB1,BC1的中點(diǎn),則以下結(jié)論中
①EF與BB1垂直;
②EF⊥平面BCC1B1;
③EF與C1D所成角為45°;
④EF∥平面A1B1C1D1
不成立的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段AC的中點(diǎn).
(1)判斷直線B1P與平面A1C1D的位置關(guān)系并證明;
(2)若F是CD的中點(diǎn),AB=BC=1,且四面體A1C1DF體積為
2
12
,求三棱錐F-A1C1D的高.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知如圖:長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,交于頂點(diǎn)A的三條棱長(zhǎng)別為AD=3,AA1=4,AB=5.一天,小強(qiáng)觀察到在A處有一只螞蟻,發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)C1處有食物,于是它沿著長(zhǎng)方體的表面爬行去獲取食物,則螞蟻爬行的最短路程是(  )
A、
74
B、5
2
C、4
5
D、3
10

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