Question

已知拋物線y²=4x，過點M（0，2）的直線l與拋物線交于A、B兩點，且直線l與x交于點C．
（1）求證：|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列；
（2）設，，試問α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線l的方程為：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用弦長公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列，從而解決問題．
（2）由，得，，，從而利用x₁，x₂，及k來表示α，β，最后結合（1）中根系數(shù)的關系即得故α+β為定值．
解答：解：（1）設直線l的方程為：y=kx+2（k≠0），
聯(lián)立方程可得得：k²x²+（4k-4）x+4=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，
則，②，
而，
∴|MC|²=|MA|•|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比數(shù)列（7分）
（2）由，得，，
即得：，，
則
由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β為定值且定值為-1（13分）
點評：本小題主要考查等比關系的確定、向量坐標的應用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．