設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=a,(a為常數(shù),且a≠3),an+1=Sn+3n,設(shè)bn=Sn-3n(n∈N*).
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{2n•bn}的前n項和Tn;
(3)若不等式an≥log
1
2
(x+1)-log
1
2
(3x2-1)+1
對任意a∈[1,3)及n∈N*恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)an+1=Sn+3n,可得Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n,而bn=Sn-3n,因此可得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,利用等比數(shù)列通項公式的求法,即可求得結(jié)果;
(2)根據(jù)(1)求得的數(shù)列{bn}的通項公式,可以求得數(shù)列{2n•bn}的通項公式,利用錯位相減法即可求得其前n項和Tn
(3)不等式an≥log
1
2
(x+1)-log
1
2
(3x2-1)+1
對任意a∈[1,3)及n∈N*恒成立,探討數(shù)列{an}的單調(diào)性,求出{an}的最小值,轉(zhuǎn)化為(an)min≥log
1
2
(x+1)-log
1
2
(3x2-1)   +1

利用對數(shù)的運算性質(zhì),解對數(shù)不等式即可求得結(jié)果.
解答:解:(1)Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n即Sn+1=2Sn+3n
bn+1
bn
=
Sn+1-3n+1
Sn-3n
=
2Sn+3n-3n+1
Sn-3n
=
2Sn-2•3n
Sn-3n
=2

故{bn}為等比數(shù)列,公比為2.
又a≠3,∴b1=S1-3=a-3≠0,∴bn=(a-3)•2n-1
(2)2nbn=n•2n•(a-3),先求數(shù){n•2n}的前n項和Tn′.
∴Tn′=1•2+2•22+3•23+…+n•2n2Tn′=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
作差:-Tn′=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2
∴Tn′=(n-1)•2n+1+2.
∴Tn=(a-3)Tn′=(a-3)(n-1)•2n+1+2(a-3).
(3)由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1,an+1=Sn+3n=2•3n+(a-3)•2n-1
則an=Sn-1+3n-1=2•3n-1+(a-3)•2n-2(n≥2)
∴n≥2時,an+1-an=4•3n-1+(a-3)•2n-2=2n-2[12(
3
2
)n-2+a-3]

當(dāng)a∈[1,3)時,12(
3
2
)n-2+a-3≥12+a-3=a+9>0
,又2n-2>0.
則n≥2時,an+1>an恒成立.
又當(dāng)n=1時,a2=a1+3>a1恒成立.
故n∈N*時.a(chǎn)n+1>an恒成立.∴(anmin=a1=a.
則由題中不等式得:a≥log
1
2
(x+1)-log
1
2
(3x2-1)   +1
時對a∈[1,3)恒成立.
1≥log
1
2
(x+1)-log
1
2
(3x2-1)+1
,即0≥log
1
2
x+1
3x2-1

x+1>0
3x2-1>0
x+1
3x2-1
≥1
  ?
x>-1
x<-
3
3
或x>
3
3
-
2
3
≤x≤1

-
2
3
≤x<-
3
3
3
3
<x≤1
點評:本是考查數(shù)列與不等式的綜合,此類題一般難度較大,解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式證明的技巧與數(shù)列通項求和的技巧,本題中用構(gòu)造法求數(shù)列的通項,是遞推關(guān)系知道的情況下求數(shù)列通項的常用方法,對于不等式恒成立求參數(shù)的問題,本題采用了分離常數(shù)法的思想將參數(shù)獨立出來,通過求關(guān)于n的代數(shù)式的最小值求出參數(shù)的取值范圍,本題考察了轉(zhuǎn)化化歸的思想,方程的思想,構(gòu)造法的技巧,綜合性強,技巧性強,題后應(yīng)注意總結(jié)本題解法上的規(guī)律,屬難題.
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設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

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設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sna1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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