Question

【題目】已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向下平移a（a>0）個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2．
（ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（ⅱ）證明：存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得>0.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

（�。�=；（ⅱ）詳見解析．

【解析】（1）因?yàn)?/span>==,所以函數(shù)的最小正周期T=.
（2）（i）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向下平移a（a>0）個(gè)單位長度后得到函數(shù)=的圖象。又已知函數(shù)的最大值為2，所以10+5-a=2，解得a=13. 所以=
（ii）要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得>0，就是要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得>0，即sin>. 由<知，存在0<<,使得sin=。 由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x時(shí)，均有sin>。因?yàn)閥=sinx的周期為，所以當(dāng)x(KZ)時(shí)，均有sinx>. 因?yàn)閷θ我獾恼麛?shù)K，=>>1,所以對于任意正整數(shù)k， ,使得,亦即存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得>0.