Question

設(shè)f（x）為R⁺→R⁺的函數(shù)，對任意正實(shí)數(shù)x，f（5x）=5f（x），當(dāng)x∈[1，5]時(shí)f（x）=2-|x-3|，則使得f（x）=f（665）的最小實(shí)數(shù)x為（　　）

• A、45
• B、65
• C、85
• D、165

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：實(shí)際上，此題類似于“周期函數(shù)”，只是這個(gè)“周期”是每次五倍增大變化的，要求其解析式，只需將x化歸到[1，5]上即可．而與f（665）相等的也不止一個(gè)，為此我們只需找到相應(yīng)的那個(gè)區(qū)間即可求出來．

解答： 解：∵f（5x）=5f（x），
∴f（x）=5f（

x

5

），
∴f（665）=5⁴f（1.064）=40，
同理f（x）=5ⁿf（

x

5n

）=

5n( x 5n -1)，1≤ x 5n ≤3 5n(5- x 5n )，3＜ x 5n ≤5

當(dāng)

5n( x 5n -1) 1≤ x 5n ≤3

當(dāng)n=2時(shí)，找的第一個(gè)符合前面條件的x=65；
當(dāng)

5n(5- x 5n ) 3＜ x 5n ≤5

當(dāng)n=2時(shí)找到最小的x=85符合前面條件．
綜上，當(dāng)x=65時(shí)滿足題意．
故選B．

點(diǎn)評：本題應(yīng)屬于選擇題中的壓軸題，對學(xué)生的能力要求較高，解決問題的關(guān)鍵在于如何將f（665）轉(zhuǎn)化到[1，5]上求出它的函數(shù)值，二是如何利用方程思想構(gòu)造方程，按要求求出x的值．