Question

如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中AB=2AD=2

2

，E為DC中點(diǎn)，將它沿AE折成直二面角D-AE-B．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求銳二面角B-AD-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AE中點(diǎn)O，連結(jié)OD、BE，由已知得OD⊥AE，OD⊥平面ABCE，由此能證明BE⊥平面ADE．
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF∥EB，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OD為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出銳二面角B-AD-E的余弦值．

解答： （本小題滿分13分）
（Ⅰ）證明：取AE中點(diǎn)O，連結(jié)OD、BE，
∵AD=DE=

2

，∴OD⊥AE，
又∵二面角D-AE-B為直二面角，
∴OD⊥平面ABCE，
∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2

2

，∴AB²=AE²+BE²，
AE⊥BE，OD∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE  …（6分）
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF∥EB，
∴OF⊥平面ADE，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OD為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系（如圖），
則A（1，0，0），D（0，0，1），B（-1，2，0），

AD

=(-1， 0， 1)，

BD

=(1，- 2， 1)，
設(shè)

m

=(x， y， z)是平面ABD的一個(gè)法向量，
則

m

•

BD

=0，

m

•

AD

=0
∴

x-2y+z=0 -x+z=0

取x=1，則y=1，z=1，則

m

=(1， 1， 1)，
平面ADE的法向量

OF

=(0， 1， 0)
∴cosθ=|

m • OF

| m || OF |

|=|

1

1• 3

|=

3

3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查銳二面角B-AD-E的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空思維能力的培養(yǎng)．