Question

9．對于實(shí)數(shù)m，n，定義一種運(yùn)算：$m*n=\left\{{\begin{array}{l}{m，m≥n}\\{n，m＜n}\end{array}}\right.$，已知函數(shù)f（x）=a*a^x，其中0＜a＜1，若f（t-1）＞f（4t），則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，2]．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，得出f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出t-1和4t的大小關(guān)系，從而可得t的范圍．

解答 解：∵0＜a＜1，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，a^x≥a，當(dāng)x＞1時(shí)，a＞a^x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a，x＞1}\\{{a}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$．
∴f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上為常數(shù)函數(shù)，
∵f（t-1）＞f（4t），
∴t-1＜4t≤1或t-1≤1＜4t，
解得-$\frac{1}{3}$＜t≤$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{4}＜t≤2$．
∴-$\frac{1}{3}＜t≤2$．
故答案為：（-$\frac{1}{3}$，2]．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．