Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長相等，點D是棱CC₁的中點，則AA₁與面ABD所成角的大小是    ．

Answer 1

【答案】分析：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長相等，點D是棱CC₁的中點，設(shè)棱長為2，以ABC平面內(nèi)AC順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AA₁與面ABD所成角的大�。�
解答：解：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長相等，點D是棱CC₁的中點，
設(shè)棱長為2，以ABC平面內(nèi)AC順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2sin30°，2sin60°，0）=（，1，0），D（0，2，1），A₁（0，0，2），
∴=（0，0，2），=（0，2，1），=（，1，0），
設(shè)平面ABD的法向量為=（x，y，z），
則，=0，
∴，解得=（，-3，6），
設(shè)AA₁與面ABD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜＞|=||=．
∴θ=60°．
故AA₁與面ABD所成角的大小是60°．
故答案為：60°．
點評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．