Question

【題目】甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為 ，乙每次投籃投中的概率為 ，且各次投籃互不影響．
（1）求甲獲勝的概率；
（2）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（Ak）= ，P（Bk）= （k=1，2，3）

記“甲獲勝”為事件C，則P（C）=P（A1）+P（ ）+P（ ）

= × + = ；

（2）解：投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)ξ的可能值為1，2，3

P（ξ=1）=P（A1）+P（ ）=

P（ξ=2）=P（ ）+P（ ）= =

P（（ξ=3）=P（ ）= =

ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P

期望Eξ=1× +2× +3× =

【解析】設(shè)Ak ， Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（Ak）= ，P（Bk）= （k=1，2，3）（1） 記“甲獲勝”為事件C，則P（C）=P（A1）+P（ ）+P（ ），利用互斥事件的概率公式即可求解；（2）投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)ξ的可能值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到ξ的分布列與期望．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用離散型隨機(jī)變量及其分布列，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列即可以解答此題．