Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，沿某動(dòng)直線Z為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為B′；折痕l與AB交于點(diǎn)E，點(diǎn)M滿足關(guān)系式．

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若曲線C是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對(duì)稱的曲線組成的，F(xiàn)是AB邊上的一點(diǎn)，=4，過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)A的取值范圍．

第19題圖

Answer 1

答案：以B為原點(diǎn)，BA所在直線為Y軸，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖．

(1)解法一：設(shè)B′(t，2)，E(0，m)，

其中0≤t≤2，0＜m≤2．

∵，且，

∴四邊形BEB′M是菱形，G(t，1)，M(f，2-m)．

且，即=0，

∵=(t，2-2m)，

∴=(t，2)，

∴-t²=4m-4，即m=t²+1．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則.

消去參數(shù)t，得y=x²+1(0≤x≤2)．

解法二：當(dāng)B′不在A點(diǎn)處時(shí)．

第19題圖

∵，

∴四邊形BEB′M為平行四邊形．

依題意BE=EB′，

∴平行四邊形B′EBM為菱形，連接B′B交于l于G，則l是BB′的中垂線．

即M∈l，且B′M∥EB，

設(shè)B′(t，2)，0≤t≤2，則G(，1)

∴l(xiāng)的方程為y-1=.

設(shè)M(x，y)，∵B′M∥EB，∴

消去參數(shù)t，得x²=-4(y-1)(0＜x≤2)．

當(dāng)B′在A點(diǎn)處時(shí)，=0，

∴M、E重合于AB的中點(diǎn)，

∴M的坐標(biāo)為(0，1)，

∵M(jìn)(0，1)也符合x²=-4(y-1)．

∴M點(diǎn)的軌跡方程為x²=-4(y-1)(0≤x≤2)．

(2)依題意知曲線C的方程為：

x²=-4(y-1)(-2≤x≤2)．

設(shè)直線PQ的方程為：y=kx+(≤k≤)．

代入曲線C的方程并整理，得x₂+4kx-2=0．

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則                                                         (*)

又∵，

∴(-x₁，-y₁)=λ(x₂，y₂)，

從而得x₁=-λx₂．

代人(*)得

①式兩邊平方后除以②式，得

，即=8k²

∵0≤k²≤.∴.

即2λ²-5λ+2≤0，∴≤λ≤2．

∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[，2].