Question

3．函數(shù)f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x+φ）+sinx，x∈R，φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，4），則f（x）的最小值為-5．

Answer 1

分析 根據(jù)f（$\frac{π}{2}$）=4求出φ的值，再化簡f（x），利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最小值．

解答 解：根據(jù)題意，f（$\frac{π}{2}$）=3$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{2}$+φ）+sin$\frac{π}{2}$=-3$\sqrt{2}$sinφ+1=4，
∴sinφ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=3$\sqrt{2}$cos（x-$\frac{π}{4}$）+sinx=3cosx+4sinx=5sin（x+θ），
其中tanθ=$\frac{4}{3}$；
∴sin（x+θ）=-1時(shí)，f（x）取得最小值-5．
故答案為：-5．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換問題，是中檔題．