Question

如圖，四棱錐S-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，tan∠ACB=

1

2

，∠CAB=

π

4

，AC交BD于O．
（1）若SB⊥平面ABCD，求證：面SAC⊥平面SBD；
（2）點(diǎn)E，P分別在SD，SA上，3DE=4ES，AP=2PS，求證：PB∥平面EAC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只要證明AC⊥BD，AC⊥SB即可．
（Ⅱ）連DP交AE于F，只要證明DF：DP=DO：DB=2：3，就能得到OF∥BP，即得證．

解答：解：：（Ⅰ）∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∠CAB=

π

4

，AC交BD于O．
∴∠OBA=

π

4

，又由∠AOB=π-∠OBA-∠CAB，所以∠AOB=

π

2

，即得AC⊥BD．
又∵SB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥SB，又∵BD∩SB=B，∴AC⊥平面SBD．
而AC?面SAC，∴面SAC⊥平面SBD．
（Ⅱ）連接DP交AE于F，連接OF，
由（Ⅰ）知，AC⊥BD，又由tan∠ACB=tan∠BDA=

1

2

，∴

DO

OB

=

2

1

，∴

DO

DB

=

2

3

，
又由點(diǎn)E，P分別在SD，SA上，滿足3DE=4ES，AP=2PS．
故

DF

DP

=

2

3

，∴

DF

DP

=

DO

DB

=

2

3

，∴OF∥BP．
又OF?平面ACE，BP?平面ACE，∴BP∥平面ACE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力，屬于中檔題．