5.假設平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分別為B,D,若增加一個條件,就能推出BD⊥EF.現(xiàn)有下面四個條件:
①AC⊥α;②AC與α,β所成的角相等;③AC與CD在β內的射影在同一條直線上;④AC∥EF
其中能成為增加條件的是①③(把你認為正確的條件序號都填上)

分析 要增加一個條件,推出BD⊥EF,由AB⊥α,CD⊥β,則平面ABDC與EF垂直,需要加一個條件能夠使得線與面垂直,把幾個選項逐個分析,得到結論.

解答 解:①∵AB⊥α,AC⊥α
∴AB∥AC
∴A,B,C三點共線;
∴A,C,B,D共面;
因為AC⊥α,且EF?α,所以AC⊥EF.
又AB⊥α且EF?α,所以EF⊥AB.
因為AC∩AB=A,AC?平面ACBD,AB?平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,
因為BD?平面ACBD,所以BD⊥EF.
所以①可以成為增加的條件.
②AC與α,β所成的角相等,AC與EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以EF與平面ACDB不垂直,所以就推不出EF與BD垂直.所以②不可以成為增加的條件.
③AC與CD在β內的射影在同一條直線上
因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD.
所以EF與CD在β內的射影垂直,
AC與CD在β內的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC,
因為AC∩CD=C,AC?平面ACBD,CD?平面ACBD,所以EF⊥平面ACBD,
因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF.
所以③可以成為增加的條件.
④若AC∥EF,則AC∥平面α,所以BD∥AC,所以BD∥EF.
所以④不可以成為增加的條件.
故答案為:①③.

點評 本題考查空間中直線與平面的位置關系,解題的關鍵是利用線面垂直的判定和性質來說清楚題目的對錯,屬于中檔題.

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