Question

18．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁=1，a_n＞0，其前n項和為S_n，且數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也為等差數(shù)列．．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≥0），由數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也為等差數(shù)列可得$2\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{3}}$，由此求出等差數(shù)列的公差，驗證數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也為等差數(shù)列，則等差數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通項公式與前n項和公式代入b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$，利用裂項相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≥0），
∵a₁=1，a_n＞0，∴$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{2+d}$，$\sqrt{{S}_{3}}=\sqrt{3+3d}$成等差數(shù)列，
則2$\sqrt{2+d}=1+\sqrt{3+3d}$，解得：d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
則${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}$，
∴數(shù)列$\sqrt{{S}_{n}}$=n為等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ），a_n+1=2n+1，${S}_{n}={n}^{2}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}•{S}_{n+1}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}•（n+1）^{2}}=\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，則
${T}_{n}=（\frac{1}{{1}^{2}}-\frac{1}{{2}^{2}}）+（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）+…+（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$=$1-\frac{1}{（n+1）^{2}}=\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，屬中檔題．