Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）設(shè)若點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）在函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{6}$）的圖象上，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)對(duì)已知函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到f（x）=sin（2x+φ），所以結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最小正周期和值域；
（2）把（ $\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）代入函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{6}$），根據(jù)0＜φ＜π求φ的值．

解答 （1）解：∵f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ），即f（x）=sin（2x+φ），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，值域?yàn)閇-1，1]；
（2）解：∵函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
又點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）在函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{6}$）的圖象上，
∴sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜φ＜π，$\frac{2π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$+φ＜$\frac{5π}{3}$，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{5π}{6}$，
解得：φ=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力．