Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點，點Q在側棱PC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若Q是PC的中點，求證：PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）若V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，試求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AD⊥PE，AD⊥BE，利用線面垂直的判定，即可證明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）連接AC交BD于點O，連接OQ，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明OQ∥PA，即可證明PA∥平面BDQ；
（Ⅲ）利用V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積S_BCDE=S_ABCD，即可求得結論．
解答：（Ⅰ）證明：因為E是AD的中點，PA=PD，
所以AD⊥PE．              …（1分）
因為底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又因為E是AD的中點，所以AD⊥BE．   …（2分）
因為PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．  …（4分）
（Ⅱ）證明：連接AC交BD于點O，連接OQ．…（5分）
因為O是AC中點，Q是PC的中點，所以OQ為△PAC中位線．
所以OQ∥PA．                                            …（7分）
因為PA?平面BDQ，OQ?平面BDQ．                      …（8分）
所以PA∥平面BDQ．                                      …（9分）
（Ⅲ）解：設四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的高分別為h₁，h₂，
所以V_P-BCDE=S_BCDEh₁，V_Q-ABCD=S_ABCDh₂．                …（10分）
因為V_P-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積S_BCDE=S_ABCD．            …（12分）
所以，…（13分）
因為，所以．                        …（14分）
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查棱錐的體積計算，解題的關鍵是正確運用線面平行、垂直的判定方法，掌握棱錐的體積公式，屬于中檔題．