Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ） 求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ） 若過F的直線交橢圓于A，B兩點，且

OA

+

OB

與向量

m

=（4，-

2

）共線（其中O為坐標原點），求

OA

與

OB

的夾角．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由題意可設圓的方程為：x²+y²=b²，由于圓與直線x-y+

2

=0相切，可得圓心到直線的距離d=1=b，又

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，解出即可；
（II）F（1，0），設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1），y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k，利用向量坐標運算、根與系數(shù)的關系可得

OA

+

OB

=(

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

)，由

OA

+

OB

與向量

m

=（4，-

2

）共線，利用向量共線定理可得

-8k

1+2k2

+

4 2 k2

1+2k2

=0，解得k．由于y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]，計算出

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂即可得出．

解答： 解：（I）由題意可設圓的方程為：x²+y²=b²，
∵圓與直線x-y+

2

=0相切，∴d=

2

2

=1=b，
又

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，解得a²=2，
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（II）F（1，0），設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2+2y2=2

，化為（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1），
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=

-2k

1+2k2

，
∴

OA

+

OB

=(

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

)，
∵

OA

+

OB

與向量

m

=（4，-

2

）共線，
∴

-8k

1+2k2

+

4 2 k2

1+2k2

=0，解得k=

2

，k=0舍去．
∴y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=2(

2

5

-

8

5

+1)=-

2

5

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2

5

-

2

5

=0，
∴

OA

⊥

OB

，
∴

OA

與

OB

的夾角為90°．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、直線與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．