Question

某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增．下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況：

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
收購(gòu)價(jià)格（元/斤）	6	7	6	5
養(yǎng)殖成本（元/斤）	3	4	4.6	5

現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π），
②y=log₂（x+a）+b中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來(lái)擬合今年生豬收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)解析式；
（2）按照你選定的函數(shù)模型，幫助該部門分析一下，今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來(lái)的月份里有沒(méi)有可能虧損？

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型,正弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）①選擇函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）擬合收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系，由題：A=1，B=6，T=4，求出ω，利用y=sin(

π

2

x+φ)+6圖象過(guò)點(diǎn)（1，6），求出φ，即可求出函數(shù)解析式；②選擇函數(shù)模型y=log₂（x+a）+b擬合養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系，由題：y=log₂（x+a）+b圖象過(guò)點(diǎn)（1，3），（2，4），求出a，b，即可求出函數(shù)解析式；
（2）x用5，6，7，8，9，10，11，12代入，計(jì)算可得結(jié)論．

解答： 解：（1）①選擇函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）擬合收購(gòu)價(jià)格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系，…（1分）
由題：A=1，B=6，T=4，∵T=

2π

|ω|

，∴ω=

π

2

，∴y=sin(

π

2

x+φ)+6，…（3分）
由題圖象：y=sin(

π

2

x+φ)+6圖象過(guò)點(diǎn)（1，6），∴

π

2

x+φ=0一解為x=1，∴φ=-

π

2

，
∴y=sin(

π

2

x-

π

2

)+6=6-cos

π

2

x…（5分）
②選擇函數(shù)模型y=log₂（x+a）+b擬合養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系…（6分）
由題：y=log₂（x+a）+b圖象過(guò)點(diǎn)（1，3），（2，4），

3=log2(1+a)+b 4=log2(2+a)+b

，…（8分）
解得：

a=0 b=3

，∴y=log₂x+3，…（10分）
（2）由（1）：當(dāng)x=5時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos

5π

2

=6，y=log₂x+3=log₂5+3＜log₂8+3=3+3=6
當(dāng)x=6時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos3π=6+1=7，y=log₂6+3＜log₂8+3=3+3=6＜7
當(dāng)x=7時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos

7π

2

=6，y=log₂x+3=log₂7+3＜log₂8+3=3+3=6
當(dāng)x=8時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos4π=6-1=5，y=log₂x+3=log₂8+3=3+3=6＞5
當(dāng)x=9時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos

9π

2

=6，y=log₂x+3=log₂9+3＞log₂8+3=3+3=6
當(dāng)x=10時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos5π=7，y=log₂x+3=log₂10+3＜log₂16+3=4+3=7
當(dāng)x=11時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos

11π

2

=6，y=log₂x+3=log₂11+3＞log₂8+3=3+3=6
當(dāng)x=12時(shí)，y=6-cos

π

2

x=6-cos6π=5，y=log₂x+3=log₂12+3＞log₂8+3=3+3=6＞5
這說(shuō)明第8、9、11、12這四個(gè)月收購(gòu)價(jià)格低于養(yǎng)殖成本，生豬養(yǎng)殖戶出現(xiàn)虧損．…（14分）
答：今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在接下來(lái)的月份里有可能虧損．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．